miércoles, 1 de julio de 2009

Teoría de la Elasticidad no Lineal

En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar un tensor deformación no-lineal y no-infinitesimal, como en la teoría lineal de la elasticidad donde se usaba el tensor deformación lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Además matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de no-linealidad geométrica (pandeo, abolladura, snap-through,...).


Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos obligados a substituir la ecuaciones de Lamé-Hooke por otro tipo de ecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no-linealidad material. Además de las mencionadas existen otras no-linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes deformaciones. Resumiendo las fuentes de no linealidad serían:



El tensor deformación no se relaciona linealmente con el desplazamiento , concretamente es una aplicación cuadrática del gradiente de deformación:



Para muchos materiales la ecuación constitutiva es no-lineal.


Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el sólido, escrito en términos del segundo tensor de Piola-Kirchhoff son nolineales:





y


Donde





es el difeomorfismo que da la relación entre los puntos antes y después de la deformación.
En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones experesados en el dominio de referencia incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la configuración deformada aparece una presión normal a la superficie, eso comporta que




Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad del jacobiano de la deformación, o de la inyectividad en el caso de contactos que evian la autopenetración del sólido deformado también imponen ecuaciones adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no-lineales.

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